1849 - La rueda dentada de Fizeau

+ El Experimento

Fizeau utilizó como línea base la distancia entre dos colinas cerca de París, Montmartre y Mont Valérien, medida como 8633 metros; el principio básico del método es el siguiente (Fig. 35 ): Una fuente (S) emite luz que pasa a través de una lente L₁ que la concentra en un espejo E₁ semistransparente (inclinado a 45º). Este la refleja hacia una rueda dentada, cruza un espacio entre sus dientes y luego atraviesa un primer telescopio (T₁). A continuación se dirige hacia un segundo telescopio (T₂) situado en la colina Montmartre a 8633 m de distancia. Al atravesarlo, la luz incide sobre un espejo E₂ que la refleja de nuevo hacia la rueda dentada, siguiendo su dirección original, pero en sentido contrario hacia el espejo E₁.

Figura 35. Diagrama del experimento de Fizeau: (S) fuente de luz, espejo 1 (E₁), espejo 2 (E₂), lente 1 (L₁), lente 2 (L₂), telescopio 1 (T₁) y telescopio 2 (T₂). Elaborado por Rosanna A. Uzcátegui.

Si la rueda dentada está quieta, la luz a su regreso pasa a través del mismo espacio entre los dientes que atravesó en la ida. Luego llegará al espejo E₁ y una parte se transmitirá hacia la lente L₂ y arribará a los ojos del observador. Si la rueda gira muy lentamente, cuando la luz llegue a ella, después de haber sido reflejada por el espejo E₂, esta habrá girado un poco y la luz será bloqueada por un diente. Al aumentar la velocidad de la rueda se encuentra una velocidad tal que el tiempo que la luz tarda en recorrer los 17266 m (en realizar el viaje de ida y vuelta entre la rueda dentada y el espejo E₂) es suficiente para que la rueda haya girado y la luz a su regreso encuentre un espacio entre los dientes y llegue a los ojos del observador. Según Fizeau, esto ocurre cuando la rueda gira a 25,2 rev/s; con este valor determinó la velocidad de la luz.

+ Los resultados

Suponiendo que la rueda tiene N dientes, las aberturas (o espacios entre los dientes) están separados por un ángulo:

∆θ = (2 × π) ÷ N                (1)

Ahora, la velocidad con la que gira la rueda dentada viene dada por:

ω = ∆θ ÷ ∆t = 2∙π∙f                (2)

Donde f es el número de vueltas o revoluciones que realiza la rueda en un segundo. Sustituyendo la ecuación (1) en (2) se tiene:

ω = [(2∙π) ÷ N ] ÷ ∆t = 2∙π∙f ∆t = 1 ÷ (N∙f)                (3)

Ahora, el tiempo que tarda la luz en realizar el viaje de ida y vuelta entre la rueda dentada y el espejo E₂ viene dado por:

∆t = (distancia que recorre en ir y venir ) ÷ (Velocidad de la luz ) = (2∙L) ÷ c        (4)

Sustituyendo (3) en (4) se tiene:

(2∙L) ÷ c = 1 ÷ (N∙f)                 (5)

Despejando la velocidad de la luz de la expresión anterior (c) obtenemos:

c = 2∙L∙N∙f ≈ 313 300 km/s

Donde L = 8,633 km; f = 25,2 rev/s y N = 720.

En un anuncio realizado ante la Academia de Ciencias de París el 23 de Julio de 1849, Fizeau expresó sus resultados en leguas de 25 al grado del meridiano terrestre:

“El promedio de veintiocho observaciones realizadas hasta ahora arrojan un valor de 70948 leguas de 25 al grado, por segundo”.Franklin Institute, 1849, p.453, traducción

Considerando que actualmente 1 legua de 25 al grado es aproximadamente 4 444 km, al realizar la conversión al sistema MKS la velocidad de la luz sería:

Velocidad de la luz = 70 948 × (1 legua de 25 al grado) = 315 300 km/s

Los valores determinados matemáticamente y el valor encontrado por Fizeau no son iguales (el de Fizeau es aproximadamente un 0,6% superior), esto puede ocurrir por la diferencia en las unidades de longitud utilizadas. Ahora, analicemos la ecuación (6):

ω = ∆θ ÷ ∆t = 2∙π∙f →  ∆θ = (2∙π∙∆t)∙f ∆θ = constante∙f

Nota que el ángulo entre las aberturas de la rueda dentada (∆θ) y la frecuencia (f) son directamente proporcionales, es decir, cuando la frecuencia aumenta, el ángulo también lo hace en la misma proporción (lo mismo ocurre si disminuyen). Esto es muy importante porque nos indica que solo podemos ver la luz a través de la lente L₂ cuando las frecuencias utilizadas sean múltiplos de f, esto concuerda con lo expresado por Fizeau en su anuncio: En las circunstancias en las que se realizó el experimento, el primer eclipse (cuando no se ve la luz a su regreso) ocurre a aproximadamente 12,6 rev/s; con la doble velocidad se ve la luz (Esto es f = 25,2 rev/s); con la triple se produce un eclipse y con la cuádruple se vuelve a observar (2∙f).

+ Los instrumentos

• Fuente luminosa: la fuente era un pedazo de tiza blanca calentada por un soplete de hidrógeno y oxígeno.
• La rueda dentada: en el anuncio realizado por Fizeau ante la Academia de Ciencias de París expone:

“La rueda dentada tiene 720 dientes, está montada sobre un tren de engranajes impulsados por una pesa y fue construida por M. Gustave Froment; Además, estaba conectado a un contador, lo que permitía determinar su velocidad de rotación”.Franklin Institute, 1849, p.453, traducción

Figura 36. Vista superior y frontal de la rueda dentada. Imagen original recuperada de Arago, F. (1857). Astronomie populaire. 4, 415.

La rueda dentada principal R (Fig. 36) recibía su energía de una pesa P que estaba enrollada en un cilindro o tambor A. En dicho tambor estaba montado un engranaje o rueda dentada B, que al estar en movimiento acciona un piñón C y lo pone en movimiento. Este piñón a su vez hace girar al engranaje D, este engrana con el segundo piñón E que también hace girar al engranaje F. Este engranaje hacia girar al piñón G que a su vez hace girar al engranaje H. Finalmente, este engranaje hace girar al piñón I que a su vez hace girar a la rueda dentada principal R. Por lo tanto, los engranajes al estar conectados entre sí provocan que todos se pongan en movimiento (incluyendo la rueda dentada principal).

+ La experiencia moderna

En el marco del Año Internacional de la Física en el 2005, el Observatorio de París, en colaboración con la Universidad Pierre y Marie Curie, llevaron a cabo una reconstrucción, con técnicas de hoy en día, del experimento de Fizeau. Durante las mediciones se pudo ver un rayo láser que era transmitido desde la terraza del Observatorio y se dirigía hacia la colina de Montmartre. El experimento consistía en (Fig. 37): desde la primera estación (Observatorio de París) se emitía un haz de luz verde muy visible cuando había buen tiempo al anochecer. A diferencia del experimento de Fizeau, el haz pasaba a través de un modulador acústico – óptico en lugar de una dentada giratoria, con el fin de cortar la luz en una serie de destellos.

Figura 37. Diagrama de la versión moderna del experimento de Fizeau. Elaborado por Rosanna A. Uzcátegui.

Al pasar a través del modulador el haz se dirigía hacia la segunda estación, ubicada a 5,5 km de distancia, donde había un espejo reflectante (un reflector de esquina) que enviaba el haz hacia la primera estación. Ahora, la operación del modulador acústico – óptico es simétrica y actúa de forma idéntica en el haz que regresa, por lo tanto, si este lograba pasar, viajaba hacia un receptor (o detector de luz), que en este caso actuaba como los ojos del observador en el experimento original de Fizeau.

La medición se basaba en el control del modulador, si el tiempo que permanece “abierto” es suficientemente largo, el haz tenía tiempo para hacer el viaje de ida y vuelta entre las dos estaciones antes de ser bloqueado. Poco a poco, al disminuir el tiempo de apertura, se pudo encontrar un tiempo límite para que el haz a su regreso fuera bloqueado y no pudiera ser detectado. Conociendo la distancia entre las dos estaciones y el tiempo límite, se determinó la velocidad de la luz. El valor encontrado en este experimento fue de 299 840 km/s, aproximadamente 0,015% mayor al aceptado hoy en día.

Veamos las diferencias y similitudes entre el experimento original de Fizeau y su versión moderna:

Cuadro 1. Comparación entre el experimento original de Fizeau y su versión moderna.

Fizeau con su experimento fue el primero en determinar, en forma concluyente, que la luz no se propaga instantáneamente (su velocidad es finita). Sin embargo, no podemos ignorar el experimento realizado unos años después por Foucault.